Как находить среднюю скорость

Средняя скорость

Как можно сравнивать скорости неравномерных движений?

Один из способов решения этой задачи — использование в физике такого понятия, как средняя скорость.

Идея состоит в том, чтобы пренебречь изменением скорости во время рассматриваемого промежутка времени, а рассматривать только начальный и конечный момент. Такое измерение удобно, если нам необходимо оценить общий результат движения.

В самом деле, как правило, целью движения является прибытие в конечный пункт к необходимому моменту времени

Как именно это достигнуто, зачастую неважно. Тело могло начать движение сразу и равномерно достигнуть конечного пункта

Могло, как автомобиль, сперва разогнаться, а потом затормозить в конечном пункте к тому же моменту времени. Наконец, тело могло двигаться «рывками», делая ряд остановок во время перемещения, но прибыть в конечный пункт, опять же, к тому же моменту времени.

Во всех трех приведенных случаях важно то, что тело начало и закончило движение в одни и те же моменты и переместилось за время движения на одно и то же расстояние. Что происходило во время движения, не рассматривается

Скорость, рассчитываемая только по начальному и конечному моменту движения, называется средней. Для нахождения средней скорости необходимо найти отношение общего перемещения материальной точки ко времени, за которое это перемещение произошло.

$$v_{ср}={\Delta x_{общ} \over \Delta t_{общ}}$$

Например, если автомобиль начал разгон в нулевой момент времени с нулевой скорости, разогнался до 50 км/ч, потом притормозил до 40 км/ч, и потом, через минуту, остановился в 600 м от начального пункта, то для нахождения средней скорости его движения необходимо 600 м поделить на 60 с. Средняя скорость составит 10 м/с.

Рис. 3. Средняя скорость.

Что мы узнали?

Одним из способов оценки скорости неравномерного движения является средняя скорость. При расчете средней скорости исходят только из начального и конечного моментов движения. А изменениями скорости между этими моментами пренебрегают. Средняя скорость удобна, если необходимо оценить общий результат движения, не обращая внимания на мелкие детали.

Тест по теме

1. Как в математике пишется скорость время расстояние

   Вопрос 1 из 10

Начать тест(новая вкладка)

Движение по кольцевым трассам

      Задача 6. (www.reshuege.ru) Из пункта   A   круговой трассы длиной   46   км выехал велосипедист, а через   20   минут из пункта   A   следом за велосипедистом отправился мотоциклист. Через   5   минут после отправления мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз, а еще через   46   минут после этого мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.

      Решение. К тому моменту, когда мотоциклист в первый раз догнал велосипедиста, мотоциклист ехал   5   минут, а велосипедист ехал   25   минут, причем проехали они один и тот же путь. Отсюда вытекает, что скорость мотоциклиста в   5   раз больше скорости велосипедиста.

      Таким образом, обозначив буквой   v   (км/час) скорость велосипедиста, получаем, что скорость мотоциклиста равна   5v   (км/час).

      В условии задачи дано время, прошедшее между двумя последовательными встречами мотоциклиста и велосипедиста, –   46   минут. Это время необходимо выразить в часах, чтобы все единицы измерения были согласованными:

      Изобразим данные задачи, касающиеся движения мотоциклиста и велосипедиста между первой и второй встречами, на рисунке 6.

Рис. 6

      Поскольку за время часа, прошедшее от момента первой встречи до момента второй встречи, мотоциклист проехал   46   км (вся круговая трасса) плюс путь, который проехал велосипедист за часа, то можно составить следующее уравнение:

      Решая это уравнение, находим скорость велосипедиста:

v = 15 .

      Ответ. Скорость велосипедиста   15   км/час, скорость мотоциклиста   75   км/час.

      Задача 7. На дороге, представляющей собой окружность длиной   60   км, пункты   A   и   B   являются диаметрально противоположными точками. Велосипедист выехал из пункта   A   и сделал два круга. Первый круг он прошел с постоянной скоростью, после чего уменьшил скорость на   5   км/час. Время между двумя прохождениями велосипедиста через пункт   B   равно   5   часам. Найти скорость, с которой велосипедист прошел первый круг.

      Решение. Для определенности будем считать, что велосипедист двигался по кругу по часовой стрелке и рассмотрим рисунок 7.

Рис. 7

      Если обозначить буквой   v   (км/час) скорость, с которой велосипедист прошел первый круг, то скорость велосипедиста на втором круге будет равна   v – 5   (км/час), и можно составить уравнение

      Решая это уравнение, находим скорость велосипедиста на первом круге:

      Поскольку скорость велосипедиста на первом круге больше, чем   5   км/час, то первый корень должен быть отброшен.

      Ответ.   15   км/час.

      Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть разделы нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

      Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

      С примерами решения задач на смеси, сплавы и растворы можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».

Скорость в дальних поездках

Рекомендация ездить без торможений особенно актуальная для любителей езды «на дальняк». От тех, кто часто ездит из Москвы в Питер, в Крым я часто слышу истории про движение по магистралям со скоростями 150 км/ч и о том, что на некоторых участках приходится часто обгонять фуры. «А за сколько времени ты в итоге доехал из Москвы до Питера?» — спрашиваю я. «За 10 часов» — отвечает лихач. Вот тут собака-то и зарыта…

Понятие равномерности движения

Смотрите, от Москвы до Питера около 700 км. Если водитель ехал без длительных остановок 10 часов, значит, его средняя скорость составила 700/10 = 70 км/ч. Выходит, на пустых участках он гнал 150 км/ч, чтобы приехать со средней скоростью 70??? Стоила ли игра свеч? Уже невооруженным глазом видно, что не стоила и что со скоростью был явный перебор. Я не говорю даже о нарушении ПДД, я пока только борюсь за здравый смысл. А если посмотреть на ситуацию не просто невооруженным глазом, а оценить по-научному, то существует так называемый коэффициент равномерности движения:

K = Vcp/Vmax

где Vcp – средняя скорость в пути, а Vmax – максимальная скорость, которой придерживался в пути водитель.

Чем ближе коэффициент к единице, тем более равномерно и целесообразно движение. То есть чем ближе средняя скорость к максимальной, тем равномернее движение и целесообразнее выбранная скорость.

В нашем примере с Москвой и Питером коэффициент равномерности равен 70/150 = 0,47. Очень посредственный результат, прямо скажем. В свободных условиях движения, за городом, рекомендуемые значения коэффициента равномерности – выше 0,7. Понятно, что ровно 1 не бывает, но 0,9-0,95 на свободной дороге без светофоров запросто. В городе уже можно говорить про 0,4-0,5, но не на Питерской трассе.

Равномерность движения важнее скорости

То есть в нашем примере водителю не стоило гнать 150, чтобы доехать со средней скоростью 70. Было целесообразно снизить скорость. Многие думают, что снижение максимальной скорости приведет к такому же снижению средней. Например, если ехать не 150, а на 30 км/ч медленнее — 120, то средняя в итоге окажется не 70, а 40. Это заблуждение! В нашем примере средняя никак не изменится, в том-то и секрет! Если стараться ехать равномерно,  на практике средняя скорость оказывается лишь незначительно ниже максимальной. В нашем случае, средняя скорость 70 км/ч будет, я думаю, если пытаться держать всю дорогу 80 км/ч. Чувствуете разницу? Гнать 150 или спокойно держать 80 и приехать за одно и то же время! На практике так и будет. Фишка в том, что 150 всю дорогу держать не получается. Пока едешь в Питер, встречаются населенные пункты, посты ДПС, фуры, опасные участки дороги – и все это вынуждает снижать скорость. А в случае с фурами, бывает, попадешь в «караван» и приходится обгонять их по очереди по нескольку десятков штук, причем, долго тащиться за каждой из них. В этих-то местах мы и теряем все то, что выиграли, выжимая по 150 на каждом свободном участке. Поэтому не стоит избыточно тратить усилия и топливо, нужно ехать с той скоростью, которая приведет к равномерности движения. Поверьте, средняя скорость никак не пострадает, а вот топлива, сил и нервов сэкономите много, и комфорта с безопасностью добавите.

Равномерно — когда нет торможений

Как же определить эту оптимальную «равномерную» скорость? Ведь это надо сидеть, считать среднюю, делить на максимальную, эти коэффициенты… Замучаешься! Да нет, на практике все куда проще и уже не ново. Нужно ехать с максимально возможной скоростью, при которой у вас не будет торможений. Тогда и движение станет равномерным, а скорость близкой к средней. То есть если вы попали в караван из 20 фур, которые идут 80 км/ч и которые можно обогнать только по «встречке», где навстречу постоянно едут машины, не стоит их обгонять. Нужно смириться и следовать за фурой. Или, как вариант, можно сделать ранее запланированную остановку (заправиться, отдохнуть, поесть) и отпустить караван вперед, чтобы потом ехать по более свободной дороге. Потеряете совсем чуть-чуть во времени, если потеряете, а выиграете, повторюсь, в расходе топлива, силах, комфорте, безопасности. И снова мы приходим к целесообразности движения со скоростью потока, только уже через другие размышления

Для чего это нужно?

Такие расчеты полезны всем. Мы все время планируем свой день и перемещения. Имея дачу за городом, есть смысл узнать среднюю путевую скорость при поездках туда.

Это упростит планирование проведения выходных. Научившись находить эту величину, мы сможем быть более пунктуальными, перестанем опаздывать.

Вернемся к примеру, предложенному в самом начале, когда часть пути автомобиль проехал с одной скоростью, а другую — с иной. Такой вид задач очень часто используется в школьной программе. Поэтому, когда ваш ребенок попросит вас помочь ему с решением подобного вопроса, вам будет просто это сделать.

Сложив длины участков пути, вы получите общее расстояние. Поделив же их значения на указанные в исходных данных скорости, можно определить время, потраченное на каждый из участков. Сложив их, получим время, потраченное на весь путь.

Задачи на среднюю скорость (далее СК). Мы уже рассматривали задания на прямолинейное движение. Рекомендую посмотреть статьи » » и » » . Типовые задания на среднюю скорость это группа задач на движение, они включены в ЕГЭ по математике и такая задача вполне вероятно может оказаться перед вами в момент самого экзамена. Задачки простые, решаются быстро.

Смысл таков: представьте объект передвижения, например автомобиль. Он проходит определённые участки пути с разной скоростью. На весь путь затрачивается какое-то определённое время. Так вот: средняя скорость это такая постоянная скорость с которой автомобиль преодолел бы данный весть путь за это же время То есть формула средней скорости такова:

Если участков пути было два, тогда

Если три, то соответственно:

*В знаменателе суммируем время, а в числителе расстояния пройденные за соответствующие им отрезки времени.

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Как уже сказано необходимо весь путь разделить на всё время движения. В условии сказано о трёх участках пути. Формула:

Обозначим весь пусть S. Тогда первую треть пути автомобиль ехал:

Вторую треть пути автомобиль ехал:

Последнюю треть пути автомобиль ехал:

Таким образом

Решите самостоятельно:

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В условии сказано о трёх участках пути. СК будем искать по формуле:

Участки пути нам не даны, но мы можем без труда их вычислить:

Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров.

Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров.

Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров.

Вычисляем скорость:

Решите самостоятельно:

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Сказано о трёх участках пути. Формула:

Протяжённость участков дана. Определим время, которое автомобиль затратил на каждый участок: на первый затрачено 120/60 часов, на второй участок 120/80 часов, на третий 150/100 часов. Вычисляем скорость:

Решите самостоятельно:

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 323 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Это интересно: Как не давать взятки сотруднику ГИБДД – несколько идей для водителя: изучаем вопрос

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какова средняя скорость материальной точки за время ее движения, если точка прошла первую половину
пути имея скорость v₁, остальную часть пути данная точка 1/2 времени двигалась со скоростью v₂, последний
участок пути точка двигалась со скоростью v₃.

Решение. В качестве основы для решения задачи формулу:

$$\langle v\rangle=\frac{s}{\Delta t}(1.1)$$

где время потраченное на путь ($\Delta t$) делится на три части:

$$\Delta t=t_{1}+t_{2}+t_{3}(1.2)$$

При этом имеют место следующие соотношения между отрезками пути, скоростью их преодоления и временем:

$$\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2} s=v_{1} t_{1} \rightarrow t_{1}=\frac{s}{2 v_{1}} \\ \frac{1}{2} s=v_{2} t_{2}+v_{3} t_{3} \rightarrow t_{3}=\frac{s}{2\left(v_{2}+v_{3}\right)}(1.3) \\ t_{2}=t_{3}=\frac{1}{2} t\end{array}\right.$$
$$\langle v\rangle=\frac{2 v_{1}\left(v_{2}+v_{3}\right)}{v_{2}+v_{3}+2 v_{1}}$$

Ответ. $\langle v\rangle=\frac{2 v_{1}\left(v_{2}+v_{3}\right)}{v_{2}+v_{3}+2 v_{1}}$

Слишком сложно?

Формула средней скорости не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Какова средняя скорость частицы, движущейся по оси Xза время в течение которого, она пройдет первые
s метров пути, если функция скорости задана уравнением: $v=A \sqrt{x}$,
где A=const>0. Считать, что x=0 при t=0.

Решение. Сделаем рисунок.

В качестве основы для решения задачи используем формулу для средней путевой скорости, так как движение прямолинейное,
то средняя путевая скорость равна модулю вектора средней скорости. По условию задачи точка движется по оси X, тогда:

$$\langle v\rangle(t+\Delta t)=\frac{\Delta x}{\Delta t}(2.1)$$

По условиям x(t=0)=0, среднюю скорость ищем, когда тело находится в точкеx=sследовательно, выражение (2.1) преобразуем к виду:

$$\langle v\rangle=\frac{s}{t}(2.2)$$

Найдем зависимость скорости от времени, исходя из определения мгновенной скоростидля движения точки по оси X:

$$v=\frac{d x}{d t}=A \sqrt{x}(2.3)$$

Выразим из (2.2) x:

$$\frac{d x}{\sqrt{x}}=A d t \rightarrow x=\frac{A^{2} t^{2}}{4}(2.4)$$

Так как движение происходит по оси X, то $x=s=\frac{A^{2} t^{2}}{4}$ . Выразим время, которое точка затратила на путьs :

$$t=\frac{2 \sqrt{s}}{A}(2.5)$$

Подставим время из (2.4) в формулу (2.2):

$$\langle v\rangle=\frac{A}{2} \sqrt{s}$$

Ответ. $\langle v\rangle=\frac{A}{2} \sqrt{s}$

Читать дальше: Формула угловой скорости.

Движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся в противоположных направлениях, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо сложить скорости этих объектов:

Скорость удаления больше скорости любого из них.

Задача 1

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода – 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км ?

Решение:

Чтобы найти время движения пешеходов, нужно знать расстояние и скорость пешеходов. Мы знаем, что за каждый час один пешеход удаляется от поселка на 5 км, а другой пешеход удаляется от поселка на 4 км. Можем найти их скорость удаления.

1. 

Мы знаем скорость удаления и знаем все расстояние – 27 км. Можем найти время, через которое пешеходы удалятся друг от друга на 27 км, для этого нужно расстояние разделить на скорость.

2. 

Ответ: Через три часа расстояние между переходами будет 27 км.

Задача 2

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход ?

Решение:

Чтобы узнать скорость второго пешехода, надо знать расстояние, которое он прошел, и его время в пути. Чтобы узнать, какое расстояние прошел второй пешеход, надо знать, какое расстояние прошел первый пешеход и общее расстояние. Общее расстояние мы знаем. Чтобы найти расстояние, которое прошел первый пешеход, надо знать его скорость и его время в пути. Средняя скорость движения первого пешехода – 5 км/ч, его время в пути – 3 часа. Если среднюю скорость умножить на время в пути, получим расстояние, которое прошел пешеход:

1. 

Мы знаем общее расстояние и знаем расстояние, которое прошел первый пешеход. Можем теперь узнать, какое расстояние прошел второй пешеход.

2. 

Теперь мы знаем расстояние, которое прошел второй пешеход, и время, проведенное им в пути. Можем найти его скорость.

3. 

Ответ: Скорость второго пешехода – 4 км/ч.

Задача 3

Товарный и пассажирский поезда движутся в противоположных направлениях. Скорость товарного 45 км/ч, скорость пассажирского — 70 км/ч. Сейчас между ними 20 км. Какое расстояние будет между ними через 2 часа ?

Решение:

1) 70+45=115 (км/ч) скорость удаления поездов

2) 115∙2=230 (км) пройдут поезда вместе за 2 часа

3) 230+20=250 (км) такое расстояние между поездами будет через 2 часа.

Ответ: Через 2 часа расстояние между поездами составит 250 км.

Задача 4

Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них — 60 км/ч, скорость другого — 40 км/ч. Через какое время расстояние между ними станет равным 300 км?

Решение:

1) 60+40=100 (км/ч) скорость удаления мотоциклистов

2) 300:100=3 (ч) через такое время расстояние между ними будет 300 км.

Средняя скорость бега человека

Скорость бега зависит как от физической подготовки человека, так и от его природных данных. Первое, что влияет на скорость, – пол и возраст.

• 9-11 км/ч – средняя скорость бега ребёнка до 18 лет
• 9-12 км/ч – средняя скорость бега женщины
• 12-15 км/ч – средняя скорость бега мужчины

До пубертатного периода скорость бега мальчиков и девочек примерно одинаковая. Разрыв в цифрах начинается с момента полового созревания и обусловлен различным гормональным фоном мужчин и женщин. Поэтому к взрослому возрасту, который с точки зрения спортивных нормативов начинается с 18 лет, наблюдается ряд физиологических особенностей, объясняющих, почему женщины медленнее мужчин:

1. У женщин более слабые суставы, а значит, слабее связки и сухожилия.
2. Массовая доля жира в организме мужчины на 10-15% ниже, чем у женщины.
3. Почти на 30% у женщин предельная сила мышц конечностей ниже, чем у мужчин.
4. Объём сердца женщины меньше мужского на 10-20%.
5. Женщины дольше восстанавливаются и более подвержены стрессовым реакциям.
6. У женщин ниже гемоглобин, а значит организм хуже транспортирует кислород.
7. У мужчин уровень тестостерона в 10 раз выше женского, то есть лучше работает опорно-двигательный аппарат.
8. Каденс (шаг) женщины короче мужского.

Хотя стоит отметить, что женщины проще справляются с перепадом температур, у них лучше координация и вестибулярный аппарат. 

Характеристика величины

Скорость в физике — это величина, описывающая количество пути, пройденного за единицу времени. То есть когда говорят, что скорость пешехода составляет 5 км/ч, это означает, что он проходит расстояние в 5 км за 1 час.

Единой размерности в этой формуле нет, поскольку с ее помощью описываются и крайне медленные, и очень быстрые процессы.

Например, искусственный спутник Земли преодолевает порядка 8 км за 1 секунду, а тектонические плиты, на которых расположены материки, по измерениям ученых, расходятся всего на несколько миллиметров за год. Поэтому и размерности у скорости могут быть разными — км/ч, м/с, мм/с и т.д.

Принцип заключается в том, что расстояние делится на время, необходимое для преодоления пути. Не стоит забывать о размерности, если проводятся сложные расчеты.

Чтобы не запутаться и не ошибиться в ответе, все величины приводятся в одни и те же единицы измерения. Если длина пути указана в километрах, а какая-то его часть в сантиметрах, то, пока мы не получим единства в размерности, правильного ответа нам не узнать.

Шаги

Метод 1 из 2:

Часть 1: Определение средней скорости изменения функции

1. 1

   Функция. Это соответствие между переменными величинами, в котором каждому значению некоторой независимой переменной «x» соответствует определенное значение зависимой переменной «у».

2. 2

   Переменная. Это величина, в процессе своего изменения принимающая различные значения. Переменные, как правило, обозначаются через «х» и «у».

3. 3

   Угловой коэффициент. Он равен тангенсу угла между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой линией. Угловой коэффициент характеризует скорость изменения линейной функции.

4. 4

   Секущая. Это прямая, пересекающая две или более точки, лежащих на кривой. При вычислении средней скорости изменения функции вы находите угловой коэффициент секущей между двумя заданными точками.

5. 5

   Основная формула для вычисления средней скорости изменения функции показана на рисунке.

Метод 2 из 2:

Часть 2: Вычисление средней скорости изменения функции

1. 1

   Найдите f(x + h).

   Вычислите f(x + h), используя следующее выражение: f(x + h) = (х + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2.

   В исходной функции f(x) замените «х» на «x + h», где h – приращение аргумента (то есть изменение независимой переменной «х»).Например, дана функция f(х) = x^2. Вычислите среднюю скорость изменения функции между в интервале (2,5) (то есть х1 = 2 и х2 = 5).

2. 2

   Вычислите среднюю скорость изменения, воспользовавшись основной формулой и подставив в нее исходную функцию f(x) и преобразованную функцию f(x+h).

   В приведенном выше примере вычисления показаны на рисунке.
   WH.shared.addScrollLoadItem(‘cc51182fbff452ca00cb398923769107’)

   {«smallUrl»:»https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e7\/Screen-Shot-2014-03-11-at-5.00.07-PM.png\/460px-Screen-Shot-2014-03-11-at-5.00.07-PM.png»,»bigUrl»:»https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e7\/Screen-Shot-2014-03-11-at-5.00.07-PM.png\/728px-Screen-Shot-2014-03-11-at-5.00.07-PM.png»,»smallWidth»:460,»smallHeight»:111,»bigWidth»:»728″,»bigHeight»:»176″,»licensing»:»

   «}

3. 3

   Найдите h.

   В приведенном выше примере: h = x2 — x1 = 5 — 2 = 3.

   Для этого вычтите начальное значение переменной «х» из ее конечного значения. Другими словами, если интервал задается в виде (x1, x2), то h = x2 — x1.

4. 4

   Вычислите среднюю скорость изменения.

   В приведенном выше примере: А(х) = 2х + h = 2 × 2 + 3 = 7

   Поставьте найденное значение h в выведенную выше формулу (вместо «х» подставьте значение x1).

5. 5

   Запишите ответ. В нашем примере средняя скорость изменения функции равна 7.

Как решать задачи на среднюю скорость

В ЕГЭ по матматике профильного уровня встречаются задачи на нахождение средней скорости автомобиля, путешественника, бегуна и т.п. В этой статье мы постараемся разобраться со способами решения данного типа зданий. Попробуйте решить следующие задачи:

1. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
2. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
3. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Если у Вас возникает недопонимание, или же вы просто не знаете как решать такие задачи, то данная статья предназначена как раз для Вас!

Средняя скорость объекта

Для начала вспомним формулу, по которой решаются все задачи на движение: ​\( S=vt \)​ — пройденный путь равняется произведению скорости и времени. Так вот, средняя скорость равна отношению всего пути ко времени, которое было затрачено на прохождение этого пути. Если перевести на математический язык:

Однако, раз возникла нужда вычислить среднюю скорость, то наверняка она была разной на различных промежутках. Например, Вам необходимо прийти в школу. Сначала вы какой-то путь проезжаете на автобусе, а затем идете пешком.

Условно, весь ваш путь можно разделить на 2 промежутка, и на обоих Ваша скорость и время его прохождения будет разной.

Аналогично мы должны вычислить и общее время, которое было затрачено на прохождение всего пути. То есть ​\( t=t_1+t_2+\ldots+t_n \)​, причем время вычисляем на каждом промежутке! То есть, запишем математически формулу для нахождения времени на n-м промежутке: ​\( t_n=\dfrac{S_n}{v_n} \)​

Решение задач

А теперь, обогатившись некоторой теорией решим первую из предложенных задач:

Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. По условию задачи мы видим, что автомобиль прошёл сначала одну треть, затем вторую треть и последнюю треть. Значит весь его маршрут состоит из трёх участков. Поэтому удобно обозначить длину всего его пути за ​\( 3S \)​
2. Теперь нам необходимо выяснить за какое время автомобиль прошёл каждый из этих промежутков (воспользовавшись формулой ​\( t_n=S_n/v_n \)​). Причем длина каждого из трёх промежутков будет равна S.
   1. Время, за который был пройдена первая треть: ​\( t_1=\dfrac{S}{12} \)​.
   2. Аналогично, найдем время, за которое были пройдены вторая и третья трети всего пути: ​\( t_2=\dfrac{S}{16} \)​ и  ​\( t_3=\dfrac{S}{24} \)​
3. Итак, мы выяснили сколько времени тратит автомобиль на прохождение каждого из отрезков своего пути, значит можем найти сколько он потратил времени всего: ​\( t=t_1+t_2+t_3 \)​. Таким образом: ​\( t=\dfrac{9S}{48} \)​

Теперь мы знаем длину всего пути (\( 3S \)​) и сколько времени автомобиль затратил на прохождение всего пути (\( t=\dfrac{9S}{48} \)​, значит найти среднюю скорость не составит и труда:

Ответ: 16

Теперь постарайтесь самостоятельно решить оставшиеся две текстовые задачи на нахождение средней скорости, а если не получается, то посмотрите видео-урок

-урок: «Как решать задачу на нахождение средней скорости»:

В данном видео-уроке я покажу, как решаются все три предложенные текстовые задачи на нахождение средней скорости. Также Вы можете сравнить своё решение с моим.

• #6. Длина хорды
• Как готовиться к ЕГЭ по математике самостоятельно (часть 1)

Средняя скорость при переменном движении

При неравномерном движении величина средней скорости сильно зависит от выбора промежутка времени движения тела.

Рассмотрим движение тела, которое свободно падает вниз. Закон движения при этом:

Для моментов времени $t_1=0,1\ $c координата тела (подставим время $t_1$ в формулу (4)) равна: $x_1=0,049\ $м; для $t_2=0,2\ $c$\ x_2=0,196$ м, тогда $\left\langle v\right\rangle $в промежутке времени от $t_1=0,1$ с до $t_2=0,2\ $c будет:

Если взять для того же свободно падающего тела промежуток времени от $t_1=0,7$ с до $t_2=0,8\ $c, то средняя скорость получится равной $\left\langle v\right\rangle =7,4\frac{м}{с}$.

Средняя скорость

Факт изменения скорости тела при неравномерном движении не всегда необходимо учитывать, при рассмотрении движении тела на большом участке пути в целом (нам не важна скорость в каждый момент времени) удобно ввести понятие средней скорости.

Например, делегация школьников добирается из Новосибирска в Сочи поездом. Расстояние между этими городами по железной дороге составляет приблизительно 3300 км. Скорость поезда, когда он только выехал из Новосибирска составляла

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Когда рассматривается движение тела на большом участке пути в целом, удобнее ввести понятие средней скорости.

Средней скоростью называют отношение полного перемещения, которое совершило тело, ко времени, за которое совершено это перемещение (рис. 7).

Рис. 7. Средняя скорость

Данное определение не всегда является удобным. Например, спортсмен пробегает 400 м – ровно один круг. Перемещение спортсмена равно 0 (рис. 8), однако мы понимаем, что его средняя скорость нулю равна быть не может.

Рис. 8. Перемещение равно 0

На практике чаще всего используется понятие средней путевой скорости.

Средняя путевая скорость – это отношение полного пути, пройденного телом, ко времени, за которое путь пройден (рис. 9).

Рис. 9. Средняя путевая скорость

Существует еще одно определение средней скорости.

Средняя скорость – это та скорость, с которой должно двигаться тело равномерно, чтобы пройти данное расстояние за то же время, за которое оно его прошло, двигаясь неравномерно.

Из курса математики нам известно, что такое среднее арифметическое. Для чисел 10 и 36 оно будет равно:

Для того чтобы узнать возможность использования этой формулы для нахождения средней скорости, решим следующую задачу.

Велосипедист поднимается со скоростью 10 км/ч на склон, затрачивая на это 0,5 часа. Далее со скоростью 36 км/ч спускается вниз за 10 минут. Найдите среднюю скорость велосипедиста (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Дано:Найти:

Так как единица измерения данных скоростей – км/ч, то и среднюю скорость найдем в км/ч. Следовательно, данные задачи не будем переводить в СИ. Переведем

Средняя скорость равна:

Полный путь (

Путь подъема на склон равен:

Путь спуска со склона равен:

Время, за которое пройден полный путь, равно:

Ответ:

Исходя из ответа задачи, видим, что применять формулу среднего арифметического для вычисления средней скорости нельзя.

Не всегда понятие средней скорости полезно для решения главной задачи механики. Возвращаясь к задаче про поезд, нельзя утверждать, что если средняя скорость на всем пути поезда равна Мгновенная скорость

Среднюю скорость, измеренную за бесконечно малый промежуток времени, называют мгновенной скоростью тела (для примера: спидометр автомобиля (рис. 11) показывает мгновенную скорость).

Рис. 11. Спидометр автомобиля показывает мгновенную скорость

Существует еще одно определение мгновенной скорости.

Мгновенная скорость – скорость движения тела в данный момент времени, скорость тела в данной точке траектории (рис. 12).

Рис. 12. Мгновенная скорость

Для того чтобы лучше понять данное определение, рассмотрим пример.

Пусть автомобиль движется прямолинейно по участку шоссе. У нас есть график зависимости проекции перемещения от времени для данного движения (рис. 13), проанализируем данный график.

Рис. 13. График зависимости проекции перемещения от времени

На графике видно, что скорость автомобиля не постоянная. Допустим, необходимо найти мгновенную скорость автомобиля через 30 секунд после начала наблюдения (в точке A). Пользуясь определением мгновенной скорости, найдем модуль средней скорости за промежуток времени от

Рис. 14. График зависимости проекции перемещения от времени

Рассчитываем среднюю скорость на данном участке времени:

Для того чтобы проверить правильность нахождения мгновенной скорости, найдем модуль средней скорости за промежуток времени от

Рис. 15. График зависимости проекции перемещения от времени

Рассчитываем среднюю скорость на данном участке времени:

Получили два значения мгновенной скорости автомобиля через 30 секунд после начала наблюдения. Точнее будет то значение, где интервал времени меньше, то есть

A

Мгновенная скорость – это векторная величина. Поэтому, кроме ее нахождения (нахождения ее модуля), необходимо знать, как она направлена.

Направление мгновенной скорости совпадает с направлением перемещения тела.

Если тело движется криволинейно, то мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке (рис. 16).

Рис. 16. Направление мгновенной скорости

Движение по реке. Скорость течения реки

      В отличие от задач на движение по суше, в задачах на движение по реке появляется новая величина – скорость течения реки.

      По отношению к берегу, который неподвижен, скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорости тела по озеру, скорости тела в неподвижной воде, скорости тела в стоячей воде) и скорости течения реки. По отношению к берегу скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела  и скорости течения реки.

      Задача 4. Моторная лодка прошла по течению реки   14   км, а затем   9   км против течения, затратив на весь путь   5   часов. Скорость лодки в стоячей воде   5   км/час. Найдите скорость течения реки.

      Решение. Обозначим буквой   v   скорость течения реки и будем считать, что скорость   v   измеряется в км/час.Изобразим данные, приведенные в условии задачи 4, на рисунке 3.

Рис. 3

      Тогда

      5 + v   – скорость, с которой лодка шла по течению реки (в км/час);

      – время движения лодки по течению реки (в часах);

      5 – v   – скорость, с которой лодка шла против течения реки (в км/час);

      – время движения лодки против течения реки (в часах);

      Теперь можно составить уравнение, принимая во внимание тот факт, что лодка находилась в пути   5   часов:

      Решим это уравнение:

      По смыслу задачи первый корень должен быть отброшен.

      Ответ.   2   км/час.

      Задача 5. (Бюро «Квантум») Моторная лодка прошла по течению реки   34   км и   39   км против течения, затратив на это столько же времени, сколько ей нужно, чтобы пройти   75   километров в стоячей воде. Найдите отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения реки.

      Решение. Обозначим   v_с   (км/ч) скорость лодки в стоячей воде и обозначим   v_р   (км/ч) скорость течения реки. Изобразим данные задачи 5 на рисунках 4 и 5.

Рис. 4

Рис. 5

      Учитывая тот факт, что в обеих ситуациях лодка провела в пути одно и то же время, можно составить уравнение:

(3)

      Если ввести обозначение

то, воспользовавшись формулой

v_с = xv_р ,

перепишем уравнение (3) в виде

(4)

      Умножая уравнение (4) на   v_р ,   получим

      По смыслу задачи первый корень должен быть отброшен.

      Ответ.   7,5 .